【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(7) (正方形与等腰直角三角形)

Original 2018-02-17 永泰一中　张祖冬 初中数学延伸课堂

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【说明】本系列的试题难度不大，但综合性均较强，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档题，阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.

【试题】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．求证：BF=OG+CF．

【图文解析】（本题解法非常多,因图中有等线段，可考虑构造全等，也可用旋转，有两直角三角形共斜边（BC）可考虑构造辅助圆，正方形又具备对称的性质，因此还可用对称的方法，因“正方形的完美性“，当然更可以用“建系”的办法来求解，自然也可用相似或三角函数的定义法来求解，之前有类似文章“中考复习——2017九下福州质检第16题图文解析（十种解法）”（可直接点击标题打开），本文仅提供构造全等法中的常用一种。

首先，通过△OCF≌△GCF（SAS）不难得到OF＝FG.如下图示：

由OB＝OC，且∠BOC＝90⁰，要证“BF=OG+CF“，可考虑”取长补短“法：在BF上截取BH=CF，连接OH．如下图示：

由“蝶形“，不难证得∠1＝∠2，如下图示：

进一步可证△OBH≌△OCF．可以得出OH=OF，如下图示：

因此OH＝OF＝FG.同时∠HOF＝∠BOC＝90⁰，得到△HOF是等腰直角三角形，所以有：

得∠OFG＝360⁰－135⁰×2＝90⁰=∠HOF，所以OH∥FG.

综上（OH＝FG，OH∥FG）可得，四边形OHFG是平行四边形，得到FH＝OG. 因此，BF＝BH+FH＝CF+OG.

即BF=OG+CF．

【反思—拓展】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段直线BD上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是直线CE上一点，且CO=CG．试找出BF、OG、CF三者的数量关系，并说明理由．

解题思路与原题类似，不详细解析.答案为：BF＝CF－OG.

特别说明：

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